bosefermiのブログ

更新が面倒に感じてきた

1次　計算技能検定　問題1

数学検定1級過去問解答例

気分で数学検定1級の問題を解いてみたので解答を記します。

試験時間60分で7問あり、7割程度での合格とのことですので1問平均約8分で5/7以上が目安でしょうか。ミスが怖いですね。

問題は以下のリンクから確認できます。

※今回のシリーズは2021年9月13日に確認したもので、記載される問題が変更されている可能性があります。

www.su-gaku.net

では本題に入りましょう。

【問題1】 4次方程式

$x^4+x^3+kx^2+8x+6720=0$

の4個の解のうち、2個の解について積を求めたところ80となりました。このとき、 $k$ の値を求めなさい。

【解答例】

明らかに解と係数の関係が使えるので解を $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ とおくと

$\alpha\beta\gamma\delta=6720$

$\alpha\beta\gamma+\beta\gamma\delta+\gamma\delta\alpha+\delta\alpha\beta=-8$

$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\delta+\delta\alpha+\alpha\gamma+\beta\delta=k$

$\alpha+\beta+\gamma+\delta=-1$

$\alpha\beta=80$ とすると $\gamma\delta=6720/80=84$

これを用いて $x$ の1次の式は $80\gamma+84\beta+84\alpha+80\delta=-8$

これと $\alpha+\beta+\gamma+\delta=-1$ との1次連立方程式を解いて

$\alpha+\beta=18, \gamma+\delta=-19$

以上より $\alpha,\beta$ は和が18積が80より $x^2-18x+80=0$ の解

$\gamma,\delta$ は和が-19積が84より $x^2+19x+84=0$ の解

よって

$x^4+x^3+kx^2+8x+6720\\=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)\\=(x^2-18x+80)(x^2+19x+84)$

係数比較より $k=80+84-18\times19=164-342=-178$

【コメント】

解きはじめたときは $\beta=80/\alpha$ などとして文字を減らす計算をしていましたが、「和が分かればいいや」と途中で気づきました。問題文を見ただけで(2次式)×(2次式)分解のフィニッシュが見えていれば速いでしょう。