1次　計算技能検定　問題5 - bosefermiのブログ

問題は以下のリンクから確認できます。

※今回のシリーズは2021年9月13日に確認したもので、記載される問題が変更されている可能性があります。

【問題5】

0以上の整数値をとる確率変数 $X$ が下の確率分布に従うとき、次の問いに答えなさい。ただし $\begin{pmatrix} n\\r \end{pmatrix}$ は二項係数を表します。

$P(X=k)=\displaystyle \begin{pmatrix} n\\r \end{pmatrix}\left(\frac{1}{10}\right)^2\left(\frac{9}{10}\right)^k・\frac{1}{10}$

① $X$ の期待値 $E(X)$ を求めなさい。

② $X$ の分散 $V(X)$ を求めなさい。

【解答例】

$P=\displaystyle \frac{1}{2}・\left(\frac{1}{10}\right)^3・\sum_{k}(k+2)(k+1)\left(\frac{9}{10}\right)^k$

(多項式)×(等比)の形なので9/10倍でずらすことを考えていく。

$E(X)=\displaystyle \sum_{k} kP= \frac{1}{2}・\left(\frac{1}{10}\right)^3・\sum_{k}(k+2)(k+1)k\left(\frac{9}{10}\right)^k$

$I=\displaystyle\sum_{k}(k+2)(k+1)k\left(\frac{9}{10}\right)^k$ とおく。

$I=\displaystyle 0+3・2・1・\frac{9}{10}+4・3・2・\left(\frac{9}{10}\right)^2+・・・\\ \displaystyle \frac{9}{10}I=\hspace{53pt}0+3・2・1・\left(\frac{9}{10}\right)^2+・・・$

引き算して

$\displaystyle \frac{1}{10}I=\sum_{k} \left\{\left(k+3\right)\left(k+2\right)\left(k+1\right)-\left(k+2\right)\left(k+1\right)k\right\}\left(\frac{9}{10}\right)^{k+1}\\=\displaystyle 3\sum_{k} (k+2)(k+1)\left(\frac{9}{10}\right)^{k+1}$

よって $\displaystyle \sum_{k} P=1$ に注意して

$\displaystyle E(X)=\frac{1}{2}・\left(\frac{1}{10}\right)^3・I\\ \displaystyle =10・3・\frac{1}{2}・\left(\frac{1}{10}\right)^3・\sum_{k} (k+2)(k+1)\left(\frac{9}{10}\right)^{k+1}\\ \displaystyle =10・3・\frac{9}{10}=27$

次に分散の計算を(二乗の平均)-(平均の二乗)を用いて行う。先の問題同様にして二乗の平均は計算する。

$E(X^2)=\displaystyle \sum_{k} k^2P= \frac{1}{2}・\left(\frac{1}{10}\right)^3・\sum_{k}(k+2)(k+1)k^2\left(\frac{9}{10}\right)^k$

$J=\displaystyle\sum_{k}(k+2)(k+1)k^2\left(\frac{9}{10}\right)^k$ とおく。

引き算すると

$\displaystyle \frac{1}{10}J=\sum_{k} \left\{\left(k+3\right)\left(k+2\right)\left(k+1\right)^2-\left(k+2\right)\left(k+1\right)k^2\right\}\left(\frac{9}{10}\right)^{k+1}\\=\displaystyle \sum_{k} (k+2)(k+1)(4k+3)\left(\frac{9}{10}\right)^{k+1}$