2021京都大学理系数学大問3無限級数和

【問題】

無限級数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n\cos\left(\frac{n\pi}{6}\right)$ の和を求めよ.

シンプルで試行錯誤もしやすいが, この年の問題のセットの中では難しい.

今回は高校数学の域を少し出るが高校生が書いてもおかしくない解き方を紹介する.

【解答】

複素数 $\alpha=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}$ を定める.

ド・モアブルの定理より任意の整数 $n$ に対して

$\alpha^n=\cos\frac{n\pi}{6}+i\sin\frac{n\pi}{6}$

したがって

無限級数和 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n\alpha^n$ を考えて実部が $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n\cos\left(\frac{n\pi}{6}\right)$ となる.

さて,

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n\alpha^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\alpha}{2}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{\alpha}{2}}\\ \displaystyle =\frac{1}{1-\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{6}-i\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{1-\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{6}+i\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{6}}{1-\cos\frac{\pi}{6}+\frac{1}{4}}$

よって, 実部だけを見て求める級数和は

$\displaystyle \frac{1-\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{6}}{1-\cos\frac{\pi}{6}+\frac{1}{4}}=\frac{1-\frac{\sqrt3}{4}}{\frac{5}{4}-\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{14+3\sqrt3}{13}$