1次　計算技能検定　問題4 - bosefermiのブログ

問題は以下のリンクから確認できます。

※今回のシリーズは2021年9月13日に確認したもので、記載される問題が変更されている可能性があります。

【問題4】

関数 $f(x)=x^2e^{-x}$ について、次の問いに答えなさい。ただし、 $e$ は自然対数の底を表します。

① $f(x)$ の第5次導関数の $x=-1$ における値 $f^{(5)}(-1)$ を求めなさい。

② $f(x)$ の第10次導関数の $x=-1$ における値 $f^{(10)}(-1)$ を求めなさい。

【解答例】

なにか法則性があるんだろうと思いながらごりごり微分し続けると

$f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}\\f''(x)=(2-4x+x^2)e^{-x}\\f^{(3)}=(-6+6x-x^2)e^{-x}\\f^{(4)}=(12-8x+x^2)e^{-x}\\f^{(5)}=(-20+10x-x^2)e^{-x}$

ということで①は

$(-20-10-1)e=-31e$

ここら辺で法則に気付けということのようですが

8階微分して気付いたのでそのまま10階微分しました。

$f^{(10)}=(90-20x+x^2)e^{-x}$ より $(90+20+1)e=111e$

【想定解？：法則性】

$f^{(n)}=(a_n+b_nx+c_nx^2)e^{-x}$ とおくと漸化式は次のとおり

$a_{n+1}=-a_n+b_n, b_{n+1}=-b_n+2c_n, c_{n+1}=-c_n$

これを順にとくと

$c_n=(-1)^n,b_n=(-1)^{n+1}2n, a_n=(-1)^n n(n-1)$

【コメント】

一般の式を求めるより法則に気付いて漸化式にしたがって順に足し算した方が速そう