1 Attempt at relativistic quantum mechanics

PROBLEMS

ヒントがあるのでそれを利用した流れで示す. まずトレースが0であることを示す.

$\{\alpha_i,\beta\}=0より\\ \alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0\\ \alpha_i\beta=-\beta\alpha_i\\$

両辺に左から $\alpha_i$ をかけて(作用させて)からトレースを取ると

$\alpha_i^2\beta=-\alpha_i\beta\alpha_i\\ \rm{Tr}\alpha_i^2\beta=-\rm{Tr}\alpha_i\beta\alpha_i$

一方でトレースの性質 $\rm{Tr}AB=\rm{Tr}A\rm{Tr}B=\rm{Tr}BA$ より

$\rm{Tr}\alpha_i^2\beta=\rm{Tr}\alpha_i\beta\alpha_i$

$以上より\rm{Tr}\alpha^2\beta=0であり\alpha^2が単位行列であるから\\ \rm{Tr}\beta=0$

同様にして $\rm{Tr}\alpha_i=0$ も示される.

また固有値を考えると2乗が単位行列であることから固有値は+1,-1

よってトレースが固有値の和になっているので

+1と-1を好きな回数(次元)足して0になるのは同じ回数ずつで次元は偶数となる.

ただしboson, fermion両方の場合を考えなさい.(概要であり, 細かい設定は本文参照)

大変なので今回は書きません. 交換関係から作戦を立てて・・・

数演算子Nの定義から

$[N,a_i]=-a_i\\ [N,a_i^{\dagger}]=a_i$

よって今回の $H$ のように消滅生成演算子が同じ数ある場合、同じ回数だけ+1と-1を足すので0となる. (実際にやってみるとよい)

感想

全問題はきついので各章のいくつかだけ書くことにしよう. もちろんどの問題も意図があるはずだけれどもここに書くことに想像以上の時間を要した. そもそも次はあるのだろうか

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